Toán 12 · Chương VPhương pháp toạ độ trong không gian

Ý chính cần nhớ

• Mặt phẳng qua M(x₀; y₀; z₀) có vectơ pháp tuyến n = (A; B; C): A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Mặt phẳng cắt ba trục tại (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c): x/a + y/b + z/c = 1.
• Khoảng cách từ M(x₀; y₀; z₀) tới mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 là |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).
• Đường thẳng qua M(x₀; y₀; z₀) có vectơ chỉ phương u = (a; b; c): phương trình tham số x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct.
• Góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai mặt phẳng dùng cos = |tích vô hướng| / (tích độ dài). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng SIN = |u·n| / (|u|·|n|).
• Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Dạng khai triển x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 có R = √(a² + b² + c² − d), cần a² + b² + c² − d > 0.

Tự kiểm tra

Làm ra giấy trước, rồi mới bấm xem đáp án.

1. Câu 1.Viết phương trình mặt phẳng qua A(1; 0; 2) có vectơ pháp tuyến (1; −2; 1).

   Xem đáp án ▾

   ✓ x − 2y + z − 3 = 0. 1(x − 1) − 2(y − 0) + 1(z − 2) = 0.

2. Câu 2.Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới mặt phẳng 2x − y + 2z + 9 = 0 là bao nhiêu?

   Xem đáp án ▾

   ✓ 3. |9| / √(4 + 1 + 4) = 9/3 = 3.

3. Câu 3.Mặt cầu x² + y² + z² − 2x + 4y − 4 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu?

   Xem đáp án ▾

   ✓ 3. Tâm (1; −2; 0), d = −4, R = √(1 + 4 + 0 + 4) = 3.