Toán 12 · Chương IVNguyên hàm và tích phân

Ý chính cần nhớ

• F là một nguyên hàm của f khi F′(x) = f(x). Viết ∫f(x)dx = F(x) + C.
• Nguyên hàm cần thuộc: ∫xᵅdx = xᵅ⁺¹/(α + 1) + C (α ≠ −1); ∫(1/x)dx = ln|x| + C; ∫eˣdx = eˣ + C; ∫aˣdx = aˣ/ln a + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫sin x dx = −cos x + C; ∫dx/cos²x = tan x + C.
• Tích phân ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a). Tách được thành tổng, đưa hằng số ra ngoài, và cộng đoạn: tích phân từ a tới b bằng tích phân từ a tới c cộng tích phân từ c tới b.
• Diện tích hình phẳng giữa y = f(x), y = g(x), x = a, x = b: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)|dx. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox: V = π∫ₐᵇ f²(x)dx.
• Biết vận tốc v(t) ≥ 0 thì quãng đường đi từ t = a tới t = b là ∫ₐᵇ v(t)dt.

Tự kiểm tra

Làm ra giấy trước, rồi mới bấm xem đáp án.

1. Câu 1.Tính ∫₀¹ eˣ dx, làm tròn đến hàng phần trăm.

   Xem đáp án ▾

   ✓ 1,72. e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 1,718.

2. Câu 2.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x³, trục hoành, x = −1 và x = 1 là bao nhiêu?

   Xem đáp án ▾

   ✓ 1/2. Hai nửa đối xứng, mỗi nửa ∫₀¹ x³dx = 1/4. Cộng lại là 1/2. Không có trị tuyệt đối thì ra 0, sai.

3. Câu 3.Quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục hoành, x = 0, x = 4 quanh Ox. Thể tích khối tạo thành là bao nhiêu?

   Xem đáp án ▾

   ✓ 8π. V = π∫₀⁴ x dx = π·16/2 = 8π.