Toán 12 · Chương IỨng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ý chính cần nhớ

• f′(x) > 0 trên khoảng K thì f đồng biến trên K; f′(x) < 0 thì nghịch biến. f′ bằng 0 tại hữu hạn điểm của K thì kết luận vẫn giữ.
• Cực trị nằm ở chỗ f′ ĐỔI DẤU: từ + sang − là cực đại, từ − sang + là cực tiểu. Chỉ có f′(x₀) = 0 thì chưa đủ, ví dụ y = x³ tại x = 0 không có cực trị.
• Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn [a; b]: tìm các điểm trong (a; b) mà f′ bằng 0 hoặc không xác định, tính f tại các điểm ấy và tại a, b, rồi so.
• Tiệm cận đứng x = x₀ khi f(x) → ±∞ lúc x tiến tới x₀ (một phía là đủ). Tiệm cận ngang y = y₀ khi f(x) → y₀ lúc x → +∞ hoặc −∞. Tiệm cận xiên y = ax + b với a = lim f(x)/x, b = lim [f(x) − ax].
• Hàm y = (ax + b)/(cx + d) với c ≠ 0 và ad − bc ≠ 0: tiệm cận đứng x = −d/c, tiệm cận ngang y = a/c.
• Bài thực tiễn: đặt một ẩn, viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của ẩn ấy, tìm miền giá trị thật của ẩn (độ dài phải dương, số lượng phải nguyên…), rồi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Tự kiểm tra

Làm ra giấy trước, rồi mới bấm xem đáp án.

1. Câu 1.Hàm số y = x⁴ − 2x² có bao nhiêu điểm cực trị?

   Xem đáp án ▾

   ✓ 3. y′ = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1), đổi dấu tại cả ba nghiệm x = −1, 0, 1.

2. Câu 2.Tiệm cận ngang của đồ thị y = (1 − 2x)/(x + 1) là đường nào?

   Xem đáp án ▾

   ✓ y = −2. Hệ số của x ở tử là −2, ở mẫu là 1, nên y → −2 khi x → ±∞.

3. Câu 3.Giá trị nhỏ nhất của f(x) = x² − 4x + 5 trên đoạn [0; 3] là bao nhiêu?

   Xem đáp án ▾

   ✓ 1. f′(x) = 2x − 4 = 0 tại x = 2. f(0) = 5, f(2) = 1, f(3) = 2. Nhỏ nhất là 1.